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title: "02-数据的表示与运算"
created: 2026-08-29
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  - 基础与理论
  - 计算机组成原理
  - "408"
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# 02 数据的表示与运算

> 📚 本文是 [[00-计算机组成原理总览|计算机组成原理]] 的第 2 篇，相关系列见 [[00-基础与理论|基础与理论]]。

进制转换、原码补码、浮点数、字符编码这些"地基"在 [[00-信息的表示与处理|信息的表示与处理]] 已经讲透（重点回顾：[[02-原码反码补码]] 和 [[04-浮点数]]）。本篇只补计组**特有**的三块：移码、定点/浮点的**硬件级运算**（加法器、乘除法器怎么干活）、以及**检错纠错的海明码**。

## 一、补码的兄弟：移码

移码 = **补码的符号位取反**（仅对定点整数，且用于**浮点数的阶码**）。

$$[x]_{移} = 2^{n-1} + x \quad (-2^{n-1} \le x < 2^{n-1})$$

| 十进制 | 8位补码 | 8位移码 |
|---|---|---|
| -128 | 1000 0000 | 0000 0000 |
| -1 | 1111 1111 | 0111 1111 |
| 0 | 0000 0000 | **1000 0000** |
| +127 | 0111 1111 | 1111 1111 |

💡 **为什么浮点阶码用移码**：移码下，机器数的大小顺序 == 真值的大小顺序（无符号比较器直接比大小），浮点数对阶、比较时硬件不用管符号，一比就对。这也是 [[04-浮点数]] 里 IEEE 754 阶码有"偏置值 127"的根源——其实就是移码思想。

⚠️ 移码**唯一**的表示：0 = 1000 0000，没有 ±0 之分。

## 二、加法器：所有运算的基石

### 1. 一位全加器

输入两个加数位 + 低位进位，输出本位和 + 进位。逻辑上就是两个异或（求和）+ 两个与（求进位）。

### 2. 串行进位加法器（行波进位）

把 n 个全加器串起来，高位等低位的进位"一波一波传过去"。缺点：**进位延迟逐级累积**，位数越多越慢——这是串行/并行一切讨论的原点。

### 3. CLA 超前进位加法器（并行进位）

思路：不等着进位逐级传，直接**用输入算出每一级进位**。定义两个辅助函数：

- 进位生成：$G_i = A_i \cdot B_i$（本位俩都是 1，必然向前进位）
- 进位传播：$P_i = A_i \oplus B_i$（本位有一个 1，就把低位进位传上去）

于是每一位进位都能展开成输入的表达式，如 4 位加法器：

$$C_1 = G_0 + P_0C_0,\quad C_2 = G_1 + P_1G_0 + P_1P_0C_0,\ \dots$$

| 方案 | 延迟 | 硬件成本 |
|---|---|---|
| 串行进位（行波） | O(n)，逐级传播 | 小 |
| CLA 超前进位 | O(1)（4 位一片，位扩展时片间仍串行） | 大（门数爆炸） |

⚠️ 考点：**CLA 用"增加硬件"换"减少延迟"**——全加器数量不变，增加的是进位逻辑。

### 4. 补码加减 + 溢出判断三法

硬件只配一个加法器：减法 = 加上"取负后的补码"（全位取反 +1）。溢出判断三法（任选其一，结论相同）：

| 方法 | 判据 | 直觉 |
|---|---|---|
| ① 单符号位 | 最高数值位进位 ⊕ 符号位进位 = 1 → 溢出 | 两股进位不一致 = 侵入了符号位 |
| ② 双符号位（变形补码） | 两位符号位 **01 → 正溢出，10 → 负溢出**，00/11 正常 | 看符号位"越界"没有 |
| ③ 操作数符号 | 同号相加，结果符号不同 → 溢出（异号相加必不溢出） | 同号相加才可能超出绝对值范围 |

💡 例：8 位补码，(+73) + (+85)。0110 1001 + 0101 0101 = 1011 1110 → 两个正数加出了负数，溢出（真值 138 > 127）。用双符号位看：`01 0111 1100`… 等价地符号位进位与数值位进位不一致，判溢出。

### 5. ALU 与标志位

ALU（算术逻辑单元）= 组合逻辑 + 控制端（选择做算术还是逻辑运算）。它每次运算顺手吐出 4 个标志位：

| 标志 | 含义 | 判法 |
|---|---|---|
| ZF | 结果为 0 | 全 0 → 1 |
| OF | **有符号**溢出 | 上述任一方法；⚠️ 硬件按补码规则判 |
| SF | 结果符号位 | 最高位是什么就是什么 |
| CF | **无符号**进/借位 | 最高位向外进位（加法）或需借位（减法）|

⚠️ 408 高频坑：**OF 管"有符号"，CF 管"无符号"**。`127 + 1 = -128` 在硬件眼里 OF=1、CF=0；而 `255 + 1`（按 8 位）CF=1、OF=0。同一串二进制，读的人解释不同。

## 三、定点乘法：原码一位乘

核心思想：**加法 + 右移**。模拟手工竖式——从乘数最低位开始，是 1 就加被乘数、是 0 就加 0，然后整体右移一位。

先验证一个完整的例子：x = 0.1101，y = 0.1011，求 x·y（符号位单独处理：正×正=正，数值部分绝对值相乘）。

```
部分积        乘数        说明
00.0000      1011        初值
+ 00.1101                乘数末位=1 → +|x|
= 00.1101
→ 00.0110    1101 1      右移，移出的"1"进入乘数寄存器
+ 00.1101                末位=1 → +|x|
= 01.0011
→ 00.1001    1110 1      右移
+ 00.0000                末位=0 → +0
→ 00.0100    1111 0      右移
+ 00.1101                末位=1 → +|x|
= 01.0001
→ 00.1000    1111 1      右移（最后一次不进乘数）
结果 = 0.1000 1111
```

验证：0.1101 = 13/16，0.1011 = 11/16，13 × 11 = 143，143/256 = 0.55859375 = **0.10001111**₂ ✅（0.10001111 = 128+8+4+2+1 = 143/256）

要点（背这 4 条）：

1. 符号位**单独异或处理**，数值部分用绝对值
2. 部分积初值 0，做 n 次"加 + 右移"
3. 加法可能**暂时溢出**（双符号位 01），右移后恢复
4. 右移是**逻辑右移**（绝对值运算无负数问题，高位补 0）

💡 **Booth 算法（补码一位乘）概念**：补码直接乘，不用先转绝对值。技巧是看"当前位 − 上一位"的差值：`10` 加 [−x]补、`01` 加 [x]补、`00/11` 不加，同样加法+右移 n 次。408 主要考概念和"何时加 −x"这个点。

## 四、定点除法：试减思想

手工竖式除法的硬件版：**够减商 1、不够减商 0，然后左移**。

以恢复余数法概念为例：x/y（都用绝对值），每次拿被除数（或余数）试减除数——结果为正商 1、为负商 0 并把除数加回去（恢复），然后余数左移一位再试。改进版**加减交替法**：余数为负就下一步直接"加除数"，省去恢复步骤。

⚠️ 408 只需掌握：① 原码除法符号单独异或；② 加减交替法的"负了就加回去"直觉；③ 除法是"左移"，乘法是"右移"——方向别记反。

## 五、浮点运算：对阶 → 尾数 → 规格化

[[04-浮点数]] 已讲格式与舍入，这里补 408 喜欢的**对阶与规格化**步骤：

1. **对阶**：小阶向大阶看齐（小阶的尾数右移——左移会丢高位，右移只丢低位）
2. **尾数加减**：用补码加法器直接算
3. **规格化**：结果不是 ±1.x 形式就移
   - 右规：尾数溢出（双符号位 01/10）→ **尾数右移 1 位，阶码 +1**
   - 左规：尾数是 0.0xxx 或 1.1xxx → 尾数左移，阶码减 1
4. **舍入**：0 舍 1 入 / 恒置 1
5. **溢出判断**：看**阶码**溢出（阶码上溢 → 真溢出；阶码下溢 → 按机器零处理）

⚠️ 一句话考点：**浮点溢出看阶码，尾数溢出只算"需要右规"**——这是浮点和定点溢出最大的不同。

## 六、海明码：会检错也能纠错

### 原理

在数据位中插入 k 个校验位（放在 2 的幂次位置：1、2、4、8…），每组校验位负责一组位置——出错时把各组校验结果拼起来，**直接得到出错位置的下标**（"syndrome 校验子"）。

位数关系需满足：$2^r \ge n + r + 1$（n 个数据位、r 个校验位）。纠 1 位错；若再加 1 位全校验位可"纠 1 检 2"。

### 手算例题（数据 1010）

4 位数据 1010 放入 7 位海明码的 3、5、6、7 号位（按从左到右顺序），校验位占 1、2、4 号位：

| 位置 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 角色 | P1 | P2 | D1=1 | P4 | D2=0 | D3=1 | D4=0 |

（数据 1010 依次填入 3、5、6、7 号位：D1=1, D2=0, D3=1, D4=0）

- P1 管**位置二进制的第 1 位是 1** 的位置：1, 3, 5, 7 → 0⊕1⊕0⊕0 = **1**
- P2 管**第 2 位是 1** 的位置：2, 3, 6, 7 → 0⊕1⊕1⊕0 = **0**
- P4 管**第 3 位是 1** 的位置：4, 5, 6, 7 → 0⊕0⊕1⊕0 = **1**

（校验位本身填 0 参与运算，算出的值再写回对应位置。）

所以 **码字 = P1 P2 D1 P4 D2 D3 D4 = 1 0 1 1 0 1 0**，即 **1011010** ✅

### 验错演示

假设第 **5** 位在传输中翻转（1→0），收到 1010110。校验：

- S1（管 1,3,5,7）：1⊕1⊕1⊕0 = 1
- S2（管 2,3,6,7）：0⊕1⊕1⊕0 = 0
- S4（管 4,5,6,7）：1⊕1⊕1⊕0 = 1

S4 S2 S1 = **101**₂ = 5 → **第 5 位错了**，翻回来即纠出 ✅（校验子全 0 = 无错）

⚠️ 考点：① 海明码是**纠错码**（CRC 是检错码，见 [[03-数据链路层]]）；② 校验位在 2^i 位置；③ syndrome 拼出来就是错位编号；④ 数据 n 位最少校验位满足 2^r ≥ n + r + 1（如 n=4 → r=3；n=8 → r=4，验证 2⁴=16 ≥ 8+4+1=13 ✅）。

## 七、奇偶校验与 CRC（一句话回链）

- **奇/偶校验**：加 1 位让 1 的个数为奇/偶。只能**检奇数个错**，不能纠错，成本最低
- **CRC 循环冗余**：模 2 除法求余数做校验，检错强但**只检不纠**——详见 [[03-数据链路层|数据链路层]] 的完整手算例题
- 海明/CRC/奇偶是一家人：**冗余换可靠**——传更多位，换检出/纠正错误的能力

## 八、盲点自测

1. 移码和补码的关系？浮点阶码为什么用移码？（符号位取反；保持大小顺序可直接比较）
2. CLA 比串行进位快在哪？代价是什么？（进位并行生成，不逐级传；硬件门数增加）
3. OF 和 CF 分别管什么？`0x7F + 0x01` 的 OF/CF？（OF 有符号溢出、CF 无符号进位；OF=1, CF=0）
4. 原码一位乘：部分积做 n 次"______ + ______"？（加法 + 右移）
5. 浮点运算结果什么时候"真溢出"？（阶码上溢；尾数溢出只是右规）
6. 数据 1010 的 7 位海明码是多少？收到 1011110 时错在哪？（1011010；syndrome=111=7，第 7 位错——D4 翻转）

## 九、动手玩

```python
# 用 Python 验证海明码编码与纠错
def hamming_encode(data):            # data: 4 位字符串
    bits = [None] * 8                # 1..7 号位
    d = iter(data)
    for i in (3, 5, 6, 7):
        bits[i] = int(next(d))
    bits[1] = bits[3] ^ bits[5] ^ bits[7]
    bits[2] = bits[3] ^ bits[6] ^ bits[7]
    bits[4] = bits[5] ^ bits[6] ^ bits[7]
    return ''.join(str(b) for b in bits[1:])

print(hamming_encode('1010'))        # → 1011010

# 纠错：把收到 7 位按位分组算 syndrome
def hamming_syndrome(bits):
    b = [0] + [int(c) for c in bits]  # 1-based
    s1 = b[1] ^ b[3] ^ b[5] ^ b[7]
    s2 = b[2] ^ b[3] ^ b[6] ^ b[7]
    s4 = b[4] ^ b[5] ^ b[6] ^ b[7]
    return s4 * 4 + s2 * 2 + s1       # 0 = 无错，否则为错位编号

print(hamming_syndrome('1010110'))   # → 5
```

## 参考资料

- 王道《计算机组成原理考研复习指导》第 2 章
- CSAPP 第 2 章（补码、浮点、位运算的完整版）
- [[02-原码反码补码]]、[[04-浮点数]]——地基篇，忘了就回去翻

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