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title: "01-进制与编码"
created: 2026-08-29
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  - 基础与理论
  - 信息基础大赛
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# 第 1~10 题：进制和编码

> 📚 本文是 [[00-信息基础大赛|信息基础大赛]]（10.29 备赛）的第 1 篇，题目以截图为主、文字为点拨。
> 💡 要系统学透对应知识，配合：[[00-信息的表示与处理|信息的表示与处理]]

**战术定位**：1~10 题就是进制转换和编码，这 10 分是**稳拿的**——下面两部分（离散、专利）搞定后，这类问题 90% 也就解决了。速度把控在 **5 分钟以内**：整数部分直接调计算器，小数算两位就能出答案。

## 进制转换问题（含小数）

一个字节由 8 位组成，二进制值域 `0000 0000 ~ 1111 1111`——写起来太冗长，用十进制转换又麻烦。于是用**十六进制**（hex，`0x` 开头）当中间层：**把二进制数 4 位 4 位地拆分**，用数字 0~9 和字符 A~F 表示 16 个可能的值。

16 个数码的二进制对照（**全部换算的地基，必须秒答**）：

| 十六 | 二进制 | 十六 | 二进制 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0000 | 8 | 1000 |
| 1 | 0001 | 9 | 1001 |
| 2 | 0010 | A | 1010 |
| 3 | 0011 | B | 1011 |
| 4 | 0100 | C | 1100 |
| 5 | 0101 | D | 1101 |
| 6 | 0110 | E | 1110 |
| 7 | 0111 | F | 1111 |

![[image1.jpeg]]

💡 记忆技巧：**死记 A=1010、C=1100、F=1111、4=0100、8=1000**，剩下的 B、D、E 用相邻关系推（A+1=B，C+1=D，D+1=E）。

### 十六 ↔ 二

很少单独考这种题，一般都是与十进制混着转换；2、8、16 之间的互转主要看记忆和推算。

**十六 → 二**：每位展开成 4 位二进制。

例：`0x173A4C`

| 1 | 7 | 3 | A | 4 | C |
|---|---|---|---|---|---|
| 0001 | 0111 | 0011 | 1010 | 0100 | 1100 |

**二 → 十六**：整数部分**从右往左** 4 位一组，最左不足补 0。

例：`11 1100 1010 1101 1011 0011`
→ 补齐 `0011 1100 1010 1101 1011 0011` → **0x3CADB3**

再练两组：

- `0x39A7F8` → `0011 1001 1010 0111 1111 1000`
- `10 0110 1110 0111 1011 0101` → 补齐 `0010 0110 1110 0111 1011 0101` → **0x26E7B5**

**带小数**：小数点后的部分**从左往右** 4 位一组，**右边**补 0（方向和整数部分正好相反）。

例：`101.01011₂` → 整数 `101`→`0101`→5；小数 `01011`→`0101 1000`→5、8 → **5.58₁₆**

### 十六 ↔ 十

（有种特殊速算方式，但多此一举，已删减——在《信息的表示与处理》里。）一般来说**反复乘除法**就够了。

#### 十进制 → 十六进制：除 16 取余

x ÷ 16 = 商 q …… 余数 r，即 x = q×16 + r。r 作最低位，q 继续循环，直到商为 0；**余数逆序**排列。也叫"除 16 取余法"。

例：314156(D) = 4CB2C(H)

| 除法 | 商 | 余数 | 已得结果 |
|---|---|---|---|
| 314156 ÷ 16 | 19634 | 12 → C | C |
| 19634 ÷ 16 | 1227 | 2 | 2C |
| 1227 ÷ 16 | 76 | 11 → B | B2C |
| 76 ÷ 16 | 4 | 12 → C | CB2C |
| 4 ÷ 16 | 0 | 4 | **4CB2C** |

![[image2.png]]

💡 这其实就是**用一个栈接收每轮余数、再出栈**——逆序输出。408 那篇笔记里用程序实现过这一过程。

**带小数**：拆成整数、小数两部分分别转。

例：58.75 转十六进制

- 整数 58，除 16 取余：58÷16=3……10(A)，3÷16=0……3 → **3A**
- 小数 0.75，**乘 16 取整**：0.75×16=12.00 → C；0.00×16=0.00 → 0 → **.C0**

能观察到两个不同点：

1. 这回取下的是**整数部分**，小数部分留下进入下一轮乘法；
2. 取出的整数**顺序**放在小数点后面（不逆序）。

#### 十六进制 → 十进制

用 16 的幂乘以每个十六进制数字再求和。

例：7AF(H) = 1967(D)——从右往左 F 是第 0 位、A 第 1 位、7 第 2 位：

7×16² + 10×16¹ + 15×16⁰ = 1792 + 160 + 15 = **1967**

⚠️ 计算量大，一般见不到这种题——题目基本都是十进制换其他。

### 十 ↔ 二、八

也是反复乘除法。

#### 二进制 → 十进制

按权展开。例：`100101.11`

| 位 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | . | 1 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 权 | 2⁵ | 2⁴ | 2³ | 2² | 2¹ | 2⁰ | | 2⁻¹ | 2⁻² |

1×2⁵ + 1×2³ + 1×2⁰ + 1×2⁻¹ + 1×2⁻² = 32 + 8 + 1 + 0.5 + 0.25 = **41.75**

![[image3.png]]

#### 十进制 → 二进制

直接上带小数的例子：123.45，拆成 123 和 0.45。

整数部分，除 2 取余（余数**逆序**）：

| 除法 | 余数 | 已得结果 |
|---|---|---|
| 123 ÷ 2 | 1 | 1 |
| 61 ÷ 2 | 1 | 11 |
| 30 ÷ 2 | 0 | 011 |
| 15 ÷ 2 | 1 | 1011 |
| 7 ÷ 2 | 1 | 11011 |
| 3 ÷ 2 | 1 | 111011 |
| 1 ÷ 2 | 1 | **1111011** |

小数部分，乘 2 取整（**顺序**往后接）：

| 乘法 | 取整 | 已得结果 |
|---|---|---|
| 0.45 × 2 = 0.9 | 0 | 1111011.**0** |
| 0.9 × 2 = 1.8 | 1 | 1111011.**01** |
| 0.8 × 2 = 1.6 | 1 | 1111011.**011** |
| 0.6 × 2 = 1.2 | 1 | 1111011.**0111** |
| 0.2 × 2 = 0.4 | 0 | 1111011.**01110** |
| 0.4 × 2 = 0.8 | 0 | 1111011.**011100** |

还可以继续往下乘——反正就是取整数部分往后接、小数部分进下一轮（0.45 是无限循环小数，算到题目精度即可）。

🎯 **考场节奏**：一般算完整数部分就能排除两个答案；再算小数，算到 4、5 位结果肯定出来了。

![[image4.png]]

比如这道题：以下二进制的值与十进制 23.456 最接近的是？

选项：10111.0101 ／ 11011.1111 ／ 11011.0111 ／ 10111.0111

- 整数 23：23÷2=11……1，11÷2=5……1，5÷2=2……1，2÷2=1……0，1÷2=0……1 → **10111**（排除 11011 开头的两个）
- 小数 0.456：0.456×2=0.912→0，0.912×2=1.824→1，0.824×2=1.648→1，0.648×2=1.296→1 → **.0111**

答案：**10111.0111**

#### 推广：十进制换任意进制

- **整数部分**：除基数取余，余数**逆序**（换二除 2、换八除 8、换十六除 16）
- **小数部分**：乘基数取整，整数**顺序**接在小数点后

例：1770.625 换八进制

| 整数：除 8 取余 | 已得 | 小数：乘 8 取整 | 已得 |
|---|---|---|---|
| 1770 ÷ 8 = 221 …… 2 | 2 | 0.625 × 8 = 5.0 | 3352.**5** |
| 221 ÷ 8 = 27 …… 5 | 52 | 0.0 × 8 = 0.0 | 3352.**50** |
| 27 ÷ 8 = 3 …… 3 | 352 | | |
| 3 ÷ 8 = 0 …… 3 | **3352** | | |

→ **3352.5₍₈₎**

### 八进制与其他

![[image5.png]]

#### 二 ↔ 八

八进制其实就是把二进制 **3 位 3 位**地取，和十六进制 4 位一组一个道理。

![[image6.png]]

例：二进制 `11 1100 0010` 换八进制——3 位一组、左边补零：

`001 111 000 010` → **1702₍₈₎**

八换二反过来：每位八进制展开成 3 位二进制（要记的东西和十六那套同理）。

#### 八 ↔ 十六

十六换八：**以二进制为桥**。

![[image7.png]]

例：F2C4B 换八进制

1. 先展开成二进制：`1111 0010 1100 0100 1011`
2. 从右往左 3 位一组、左边补零：`011 110 010 110 001 001 011`
3. → **3626113₍₈₎**

八换十六：同样走二进制桥，换成 **4 位一组**划分。

#### 八 → 十

按权展开：3725₍₈₎ = 3×8³ + 7×8² + 2×8¹ + 5×8⁰ = 1536 + 448 + 16 + 5 = **2005**

### 将算式转换成进制

还有一种把运算和进制转换结合起来的问题，比如：

#### 11/128 用二进制数码序列表示为？

按老思路先算出十进制结果、再分整数小数两部分转换，很浪费时间。**直接循环乘 2 除下去**（分数形式）：

| 步骤 | 结果 | 已得二进制 |
|---|---|---|
| 11/128 ×2 = 22/128 | 整数部分 0 | 0 |
| 22/128 ×2 = 44/128 | 0 | 00 |
| 44/128 ×2 = 88/128 | 0 | 000 |
| 88/128 ×2 = 176/128 | **1**，留 48/128 | 0001 |
| 48/128 ×2 = 96/128 | 0 | 00010 |
| 96/128 ×2 = 192/128 | **1**，留 64/128 | 000101 |
| 64/128 ×2 = 128/128 | **1**，留 0，结束 | **0001011** |

→ **0.0001011₂**

💡 本质就是"乘 2 取整法"的分数形式：分子翻倍、分母不变，够 128 就吐出一个 1 并把 128 减掉。

## 编码问题

### ASCII 码

![[image8.png]]

- 标准 ASCII 用 **7 位**二进制表示一个字符，范围 0（`0000000`）~ 127（`1111111`）
- 但计算机中数据通常以 **8 位（1 字节）**存储：实际是 `0 0000000 ~ 0 1111111`，**最高位恒为 0**，每个字符占一个字节的存储量
- 大写字母的 ASCII 值比对应小写字母**小 32**（A=65，a=97）
- 空格的 ASCII 值为 32，字符 `0` 为 48
- 并非所有 ASCII 码都能显示成字符，前面的控制字符无法显示

💡 tips：按住 Alt 输入数字（十进制 ASCII 码），会显示对应字符。

- **一个汉字 : 一个英文字符 = 2 : 1**（微型机中汉字占 2 字节、英文占 1 字节）

例：一个 1.44MB 的文本文件，大约可存储多少中文字？
1.44×10⁶ B ÷ 2 B/字 = **72 万字**（题目口径按 10⁶ 算；若按 1024 进位则约 75 万，考试认 72 万）

### 音码、形码、区位码

- **音码**（拼音输入法）：按汉字**发音**编码，输拼音字母/音节，从候选列表选字。如输 "zhongguo" 选"中国"。
- **形码**：按汉字**笔画构造和形状**编码，按笔画顺序和部首输入。如五笔字型。
- **音形码**（形声码）：字形 + 音韵结合编码，每个字的编码含部首和声母特征。
- **区位码**：按汉字在字符集中的**位置**编码，每个汉字一个唯一的四位十进制码。

### 汉字编码体系

- **汉字编码**：UTF-8、UTF-16、GB2312、GBK 等，不同编码的字节长度可以不同
- **输入码**：输入法生成、用于识别汉字的码——同一汉字在不同输入法下输入码不同、长度不同
- **机内码**：计算机内部表示汉字的编码——**不同输入法输入的同一汉字，机内码相同**（保持一致性）
- **Unicode**：通用字符编码标准，跨输入法、跨系统保持字符一致，通常用 16 位或 32 位表示，容纳世界各种文字

### 区位码 → 国标码 → 机内码

**换算链（考点）**：

> 区位码（十进制的区、位分别转两位十六进制）→ **+ 2020H** → 国标码 → **+ 8080H** → 机内码

例：汉字"家"的区位码是 2850，则其国标码是（　）
A. 4870D　B. 3C52H　C. 9CB2H　D. A8D0H

28 → 1CH，50 → 32H，得 2850 = 1C32H；1C32H + 2020H = **3C52H**，选 **B**。

（so：先分两部分换成十六进制，再加上 2020H。）

**GB2312-80 的分级**：

- **一级汉字 3755 个**（常用），按**汉语拼音**排列，占 16~55 区
- **二级汉字 3008 个**（次常用），按**偏旁部首**排列，占 56~87 区
- 每区 94 个汉字/符号；1~9 区是符号区（全角字母、希腊/日文/俄文、制表符号等），10~15、88~94 备用
- 区位码是四位十进制数：前两位**区码**、后两位**位码**

**显示/打印用哪个码？**

> 显示或打印汉字时，系统使用的是汉字的（　）。
> A. 机内码　B. 字形码　C. 输入码　D. 国标码

答案：**B 字形码**。输出汉字时，先根据**机内码**找到字模信息在汉字库中的位置，取出**点阵字形**显示/打印——机内码负责"找"，字形码负责"画"。

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