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title: "等差与等比"
created: 2025-11-28
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  - 算法
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# 等差与等比

等差数列等比数列也是经常考到 把常用的公式记一下

### 等差数列

1. **公式**：$a\_n = a\_1 + (n-1)d$
2. **前 n 项和**：$S\_n = \frac{n}{2}(a\_1 + a\_n)$或者
   $S\_n = \frac{n}{2}(2a\_1 + (n-1)d)$
3. **求和公式推导**：

   $S\_n = \frac{n}{2}(a\_1 + a\_n) = \frac{n}{2}(2a\_1 + (n-1)d) = na\_1 + \frac{n(n-1)}{2}d$

**常用技巧**：

- 若已知前 n 项和$S\_n$*和公差*$d$*，则可通过*
  $S\_n = \frac{n}{2}(2a\_1 + (n-1)d)$*解方程得到*$a\_1$。
- 若已知前 n 项和 $S\_n$*和项数*
  $n$*，可通过*$S\_n = \frac{n}{2}(a\_1 + a\_n)$解方程得到
  $a\_n$。

### 等比数列

1. **公式**：$a\_n = a\_1 \cdot r^{(n-1)}$
2. **前 n 项和**：$S\_n = \frac{a\_1(1 - r^n)}{1 - r}（r \neq 1）$
3. **求和公式推导**：

- $S\_n = a\_1 + a\_2 + \dots + a\_n$
- $r \cdot S\_n = a\_2 + a\_3 + \dots + a\_{n+1}$
- $S\_n - r \cdot S\_n = a\_1 - a\_{n+1}$
- $(1 - r) \cdot S\_n = a\_1(1 - r^n)$

**常用技巧**：

- 若已知前 n 项和 $S\_n$*和公比*
  $r$*，则可通过*$S\_n = \frac{a\_1(1 - r^n)}{1 - r}$*解方程得到*
  $a\_1$。
- 若已知前 n 项和 $S\_n$*和项数*
  $n$，可通过$S\_n = \frac{a\_1(1 - r^n)}{1 - r}$解方程得到
  $r$ 。

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