--- title: "加分二叉树" created: 2025-11-28 tags: - 算法 --- # 加分二叉树 ## 题目 [加分二叉树](https://www.acwing.com/problem/content/description/481/) 设一个 n 个节点的二叉树 tree 的中序遍历为（1,2,3,…,n），其中数字 1,2,3,…,n 为节点编号。 每个节点都有一个分数（均为正整数），记第 i 个节点的分数为 di，tree 及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树 subtree（也包含 tree 本身）的加分计算方法如下： subtree的左子树的加分 × subtree的右子树的加分 ＋ subtree的根的分数 若某个子树为空，规定其加分为 1。 叶子的加分就是叶节点本身的分数，不考虑它的空子树。 试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树 tree。 要求输出： （1）tree的最高加分 （2）tree的前序遍历 **输入格式** 第 1 行：一个整数 n，为节点个数。 第 2 行：n 个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（0<分数<100）。 **输出格式** 第 1 行：一个整数，为最高加分（结果不会超过`int`范围）。 第 2 行：n 个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。如果存在多种方案，则输出字典序最小的方案。 **数据范围** n<30 **输入样例：** 5 5 7 1 2 10 输出样例： 145 3 1 2 4 5 ## 思路分析 其实算是区间dp的裸题 主要就是要分析出题意 给定一个含有 n 个结点的二叉树的 **中序遍历** 序列中每个节点的 权值 定义一棵 子树 的 分数 为 左子树的分数×右子树的分数+根节点的权值 额外规定 空树 的 分数 为 1 求一种满足该 中序遍历 的建树方案，使得整棵树的 分数 最大 需要知道一个二叉树的小常识： 二叉树节点 向下投影，映射成的数组序列就是 中序遍历序列，如下图所示 ![[image-737aff03.png]] 问题其实就转换成了枚举每个点k作为根时 的分数最大 状态表示： f[i][j]:当前以 i 为左端点，j 为右端点的区间作为 中序遍历，生成树的方案 属性: 方案的分数最大 Max 状态计算— ![[image-c7f3369c.png]] 初始状态： f[i,j]=w (i=j) 题目规定只有一个节点的子树分数就是其权值 目标状态： f[1,n] ## 代码实现 ```cpp #include using namespace std; const int N=31; int w[N]; int f[N][N]; int g[N][N];//记录每个子集的根 用于输出方案 int n; void dfs(int l,int r){ if(l>r) return; int root=g[l][r]; cout<>n; for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i]; memset(f,-0x3f,sizeof f);//最大价值 初始化-inf for(int len=1;len<=n;len++){// 区间长度 for(int i=1;i+len-1<=n;i++){//枚举起点 int j=i+len-1;//算出终点 if(len==1){//最小区间 f[i][j]=w[i];//题意规定价值为自身 g[i][j]=i;//根其实就是i或j本身 continue; } for(int k=i;k<=j;k++){//枚举分割点 构造转移方程 //考虑分割点在边缘的情况 //这里 区间划分是 左 中 右 中间是额外的第三块 所以分为i,k-1 k k+1,j int l=(k==i? 1 : f[i][k-1]); int r=(k==j? 1 : f[k+1][j]); int score=l*r+w[k]; if(score>f[i][j]){ f[i][j]=score; g[i][j]=k; } } } } cout<