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title: "圆圈中最后剩下的数字"
created: 2025-11-28
tags:
  - 算法
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# 圆圈中最后剩下的数字

## 题目 [圆圈中最后剩下的数字](https://www.acwing.com/problem/content/description/78/)

![[image-bc268ee5.png]]

## 思路分析

著名的约瑟夫环问题

可以直接用环形列表来模拟，每次从这个列表中删除第m个元素，一直到列表最后剩下一个元素为止

最简单的方式是直接用list来模拟这个环形列表，由于list并不是一个环形的结构，因此每次跌代器扫描到列表末尾的时候，要记得把迭代器移到列表的头部。这样就是按照一个圆圈的顺序来遍历这个列表了。

然后可以用数组模拟的链表尝试实现（TMD别找罪受 越界问题调了一晚上 草 能用stl快速解决 且不会卡时间 何必呢 唉）

再就是用简单DP 也就是递推

首先定义最初的n个数字（0,1,…,n-1）中最后剩下的数字是关于n和m的方程为f(n,m)。

在这n个数字中，第一个被删除的数字是(m-1)%n，为简单起见记为k。那么删除k之后的剩下n-1的数字为0,1,…,k-1,k+1,…,n-1，并且下一个开始计数的数字是k+1。相当于在剩下的序列中，k+1排到最前面，从而形成序列k+1,…,n-1,0,…k-1。该序列最后剩下的数字也应该是关于n和m的函数。由于这个序列的规律和前面最初的序列不一样（最初的序列是从0开始的连续序列），因此该函数不同于前面函数，记为f’(n-1,m)。最初序列最后剩下的数字f(n,m)一定是剩下序列的最后剩下数字f’(n-1,m)，所以f(n,m)=f’(n-1,m)。

接下来我们把剩下的的这n-1个数字的序列k+1,…,n-1,0,…k-1作一个映射，映射的结果是形成一个从0到n-2的序列：

k+1 -> 0

k+2 -> 1

…

n-1 -> n-k-2

0 -> n-k-1

…

k-1 -> n-2

把映射定义为p，则p(x)= (x-k-1)%n，即如果映射前的数字是x，则映射后的数字是(x-k-1)%n。对应的逆映射是p-1(x)=(x+k+1)%n。

由于映射之后的序列和最初的序列有同样的形式，都是从0开始的连续序列，因此仍然可以用函数f来表示，记为f(n-1,m)。根据我们的映射规则，映射之前的序列最后剩下的数字f’(n-1,m)=
p-1 [f(n-1,m)]=[f(n-1,m)+k+1]%n。把k=(m-1)%n代入得到f(n,m)=f’(n-1,m)=[f(n-1,m)+m]%n。

经过上面复杂的分析，我们终于找到一个递归的公式。要得到n个数字的序列的最后剩下的数字，只需要得到n-1个数字的序列的最后剩下的数字，并可以依此类推。当n=1时，也就是序列中开始只有一个数字0，那么很显然最后剩下的数字就是0。因此有递推公式：

当n=1时，f(n, m) = 0 当n>1时，f(n, m) = [f(n-1, m) +m] % n

具体看y总视频

## 代码实现

**list**

```java
#include<bits/stdc++.h>

class Solution {

public:

    int lastRemaining(int n, int m){

        list<int> nums;

        for(int i=0;i<n;i++){

            nums.push_back(i);

        }

        auto it=nums.begin();

        int k=m-1;

        while(nums.size()>1){

            while(k--){

                it++;

                if(it==nums.end())

                    it=nums.begin();

            }

            it=nums.erase(it);

            if(it==nums.end())

                it=nums.begin();

            k=m-1;

        }

        return nums.front();

    }

};
```

**递归**

```java
class Solution {

public:

    int lastRemaining(int n, int m){

        if(n==1)

            return 0;

        else

            return (lastRemaining(n-1,m)+m)%n;

    }

};
```

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## 视频讲解

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