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title: "01-应用统计学"
created: 2025-12-02
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  - 博客

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# 应用统计学

## 考试时间

6月17日 星期二 8：30——10：10

## 题型分布

选择     10题   2分一道   20分

填空     5题    2分一道   10分

判断     10题   1分一道   10分

简答     4题    5分一道   20分

计算     5题    8分一道   40分

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## 选填判

### 选填（10选15 5题没给）

1. 某公司2021年至2023年的销售额(万元)分别为120、150、160，使用3年移动平均法预测2024年的销售额为?

   （120+150+160）/3=143.33
2. 某公司员工年龄数据范围为22岁到50岁，需要分为5组来制作频数分布表。则最合理的组距为?

   （50-22）/5=5.6

     因为年龄一般是整数，所以最合理的组距是6
3. 若检验两个总体比例是否相等时，样本1的观测成功数为x1=30(样本量n1=100)，样本2的观测成功数为x2=45(样本量n2=150)，则合并比例P为?

   公式：（p1+p2）/2

              p1=30/100  p2=45/150

             (3/10+3/10)/2=3/10
4. 一批产品有10件，其中有2件次品，从中任取3件，则恰有1件次品的概率是?

   ![[image-ba3faf3c.png]]
5. 均匀分布的期望和方差

   ![[image-29b7dba6.png]]

   均匀分布的期望：\(E(X)=(a+b)/2\)

   均匀分布的方差：\(D(X)=(b-a)^2/12\)
   （记两个公式就好，代值进去算）
6. 某工厂生产两种型号的产品(型号A和型号B)，分别从两种型号的广中随机抽取了10件样本。型号A:平均质量为100克，标准差为2克。型号B平均质量为102克，标准差为3克。假设两种型号产品的质量指标均服从正态分布，且方差相等，那么自由度为?

   公式：n1+n2-2（n代码每个型号取的样本数）

             10+10-2=18
7. 向上累积法

   ![[image-6133a6fd.png]]

   ![[image-e5570763.png]]
8. 在成对样本均值检验中，t检验统计量为?

   t=(X-E(X))/根号(D(X))
9. 某公司的月收入可以分为5组:3000以下、3000-5000、5000-7000和7000以上，则最后一组的组中值为?

   因为3000-5000的组中值为4000，5000-7000的组中值是6000

    所以组中值之间的组距是6000-4000=2000

   即最后一组的组中值是6000+2000=8000
10. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有5只白球6只红球，乙袋中装有9只白球8只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问:

    (1)从乙袋中取到白球的概率是多少?

    (2)如果现在从乙袋中取到的是白球,求从甲袋中也取到白球的概率。

    ![[image-9e020bae.png]]

### 判断：（10选10？可能有陷阱）

1. 统计学研究的对象是客观现象的数量特征和规律性。 （ √ ）
2. 实际应用中分组的数量和组距应根据对象的特点和分析的需要决定。 （ √ ）
3. 重叠组限指相邻组的上下限重合。  （ √ ）
4. 分层抽样又称为分类抽样或类型抽样。  （ √ ）
5. 有效性是对估计量的最基本要求。  （ × ）

   **无偏性是对估计量的最基本要求**，有效性是在满足无偏性的前提下进一步追求的优良性质。
6. 若想检验两个总体比例之比是否有差异，则计算Z统计进行决策。  （ √ ）

   比例之间有差异 —— 用 Z 检验

         T 检验是用来“比较平均数”的，特别是在不知道总体标准差、而且样本又不大的时候。
7. 若两个总体均值差的检验统计量大于分布函数的临界值，则拒绝原假设。  （ × ）
8. 卡方检验可以用于比较两组连续变量(如身高、体重)的平均值差异。  （ × ）

         卡方检验主要用于：分类变量（类别变量）之间的关联性检验，比如性别与是否吸烟的关系、频数数据的独立性检验或适合度检验。

         不能用于比较连续变量（如身高、体重）的均值差异。

         比较连续变量均值差异应使用：t 检验（两个样本均值比较）、方差分析（ANOVA）（多组均值比较）等。
9. 基于最小二乘法拟合趋势线时，目标是使预测值与实际值的离差平方和最小。 （ √ ）
10. 时间序列中的循环变动通常指周期小于一年的变动。  （ × ）

    循环变动（cyclical variation）是指时间序列中周期性较长的波动，通常持续 几年到十几年不等，且周期通常 大于一年。

          例如经济周期、商业周期等都属于循环变动，周期往往是数年。

          季节变动（seasonal variation）指的是周期小于一年的规律性变动，通常是一年内的季节性波动（如季度、月份的变化）。

## 简答（8选4）

### 第一组（第一章）：

请简述问卷设计一般要遵循哪些原则。P9

1. **合理性：**问题设置应紧扣调查主题，围绕研究目标筛选相关内容，确保问卷的整体方向明确、有效。
2. **一般性：**所设计的问题应具有普遍适用性，能够反映多数被调查者的情况，便于统计分析与归纳结论。
3. **逻辑性：**问卷整体结构应条理清晰，前后问题安排要有逻辑顺序；各题目自身也要避免逻辑矛盾，确保问卷的系统性。
4. **明确性：**语言表达要准确、清晰，避免模糊或歧义，使被调查者能理解题意并准确作答。
5. **非诱导性：**问题措辞应保持中性，避免暗示或诱导被调查者作出特定答案，确保数据的客观性和可靠性。
6. **便于整理与分析：**问卷设计应考虑数据后续的统计与处理，题型设置规范、选项设计合理，以提高数据分析的效率与有效性。

数据的计量尺度有几类?请分别写出来。 P12

1. **定类尺度（名义尺度）**：只用于对事物进行分类，没有顺序或大小之分，不能进行加减运算。如性别、血型、民族、地区编码等。
2. **定序尺度（顺序尺度）**：数据之间可以排序，但无法确定相邻等级之间的差距大小。如：满意度等级（如“满意”“一般”“不满意”）、比赛名次、服务评级等。
3. **定距尺度（间隔尺度）**：数据不仅可以排序，还可以进行加减运算，但没有绝对零点，不能进行比例比较。如：温度（摄氏、华氏）、年份、智商（IQ）等。
4. **定比尺度（比率尺度）**：具有定距尺度的全部特征，并且拥有绝对零点，可以进行各种数学运算。如：身高、体重、年龄、收入、数量等。

### 第二组（第十章）

请简述进行卡方检验的一般步骤。 P177

1. **提出原假设：**根据实际问题背景，提出总体 XX
   \(χ\) 服从某一分布\(F(x)\)的**原假设**
   \(H\_0\);
2. **参数估计：**利用样本观察值\(x1,x2,…,xn\)，对分布
   \(F(x)\)中的 rrr 个未知参数进行点估计。
3. **区间划分**：将\(F(x)\)的定义域划分为k个互不相关的区间
   \(（a\_i,a\_{i+1}]\)，其中 i=1,2,…,ki = 1, 2, \dots, k
   \(i=1,2,…,k\)。区间划分原则上应使每个区间的理论频数\(nP\_i\)不小于
   5，以保证检验的有效性。
4. **计算频数与理论概率**：
   - 统计样本观察值落在每个区间\((a\_i,a\_{i+1})\)内的实际频数 fif\_i
     \(f\_i\),
   - 根据原假设和估计参数，计算出每个区间的理论频数\(nP\_i\)；
5. 计算统计量\(χ  2\)的值，若\(χ^2  > χ\_α^2(k-r-1)\),则拒绝原假设
   \(H\_0\),否则接受原假设\(H\_0\)。

使用Kruskal-Wallis秩检验的假设。P193

（1）c组样本是从各自的总体随机、独立选出的。

（2）潜在的变量是连续的。

（3）可以给出数据在c组间的一系列秩。

（4）c总体有相同方差。

（5）c总体有相同形态。

### 第三组（第十一、十二章）

请简述一元回归的分析步骤。P209

1. **建立模型：**根据问题的实际背景和有关专业理论知识，或对样本数据分析后，建立描述变量间相关关系的回归模型；
2. **参数估计：**利用所得到的样本数据估计模型中的未知参数，得到回归方程；
3. **显著性检验：**对所得回归方程和回归系数进行显著性检测；
4. **预测与应用：**利用回归方程对被解释变量进行预测或控制。

请简述多元线性回归分析的有效性主要依赖于哪些基本假设。（书上没答案）

1. **线性关系假设**：因变量与各自变量之间存在线性关系。
2. **误差项期望为零**：假设误差项的数学期望为零，即 E(ε)=0E(\varepsilon) = 0
   \(E(ε)=0\)。
3. **误差项同方差性**：所有观测值的误差项具有相同的方差，即\(D(εi)=σ2\)，不存在异方差。
4. **误差项之间互不相关**：各误差项之间相互独立，不能存在自相关。
5. **误差项服从正态分布**：误差项应服从正态分布，特别是在进行显著性检验时要求成立。
6. **无完全多重共线性**：自变量之间不能存在线性完全相关，即不能存在完全多重共线性。

### 第四组（拓展）

请简述统计分析报告的结构。 （来自ppt）

统计分析报告通常包括以下五个部分：

1. **标题**：

   位于报告最前部，是文章的名称，也是文章主题思想的体现。一个好的标题能准确反映研究内容，吸引读者关注，常被称为文章的“眼睛”。
2. **摘要**：

   简明扼要地概括整个报告的核心内容，通常包括：
   - 研究背景和研究问题
   - 研究方法
   - 研究结果
   - 结论与建议
3. **正文**：

   是报告的核心部分，一般包括以下几方面：
   - 绪论：介绍研究背景、目的和意义
   - 调查方案及实施：说明数据来源、抽样设计、问卷内容等
   - 数据分析：进行统计描述、推断分析、模型构建等
   - 结论与建议：归纳主要发现，提出改进建议或对策
4. **参考文献**：

   列出报告中引用的书籍、期刊、数据库或其他资料，便于查阅与验证。
5. **附录**：

   附加的辅助性资料，如原始数据表、问卷样本、技术细节说明、计算公式等。

请简述统计分析报告的作用。 （来自ppt）

统计分析报告是运用统计资料和统计分析方法，对所研究事物的本质和规律性进行表达的一种应用性文章，其主要作用包括：

1. **集中展现分析成果**：是统计分析过程中形成的论点、论据和结论的集中表现形式。
2. **揭示客观规律**：通过数字与文字相结合，揭示研究对象的数量特征和内在规律。
3. **辅助科学决策**：为管理层或相关部门提供科学依据，支持政策制定和实际决策。

## 计算（题型确定 得学）

第四章一道、第六章一道（ppt第十页例题）、第七章一道（ppt第17页例题）、第九章一道、第十一章一道

### 第一题 期望方差 （第四章）

设X~N(25,16)，试描述4X+5的抽样分布。(提示:计算期望和方差)

![[c0bfbba26f1d5c0a1f0423fea812f6d-e81e06f8.jpg]]

### 第二题 置信区间（第六章）

1. 某工厂生产的零件长度标准为10cm，现随机抽取25个零件测得平均长度为10.2cm，标准差为0.5cm。试在置信度95%下，估计零件长度的置信区间。(双侧估计，t0.025(24)=2.06)

   ![[image-cc38f274.png]]
2. 某公司生产的一种电子元件的使用寿命服从正态分布。为了估计这种电子元件的平均使用寿命，从中随机抽取了25个样品进行测试，得到样本均值为2000小时。假设总体标准差已知为120小时，请计算在95%置信水平下，这种电子元件平均使用寿命的置信区间。(Z0.025=1.96,Z0.05=1.645)

   ![[image-f2dbe038.png]]
3. ![[image-de7a3ee0.png]]

### 第三题 单个假设检验（第七章）

1. 某电子元件批量生产的质量标准为平均使用寿命1200小时，总体标准300小时。某厂宣称他们采用一种新工艺生产的元件质量大大超过规定标准。为了进行验证，随机抽取了100件作为样本，测得平均使用寿命1245小时。在a=0.05下，能否说该厂生产的电子元件质量显著高于规定标准及在a=0.01下的结果如何。

   需记忆：Za=Z0.05=1.645

   ![[image-cd334878.png]]
2. 某品牌电池声称其平均使用寿命为12小时，随机抽取了16块电池，得到样本均值为11.5小时，样本标准差为1.2小时。假设电池使用寿命服从正态分布，且总体方差未知。在显著性水平0.05下，检验该品牌电池的平均使用寿命是否为12小时。(t0.025(15)=2.131)

   ![[image-5d416c78.png]]
3. ![[image-2de59fc6.png]]

### 第四题 方差分析 （第九章）

![[image-f147cfc9.png]]

1. 某科研机构为了研究肥料对作物产量的影响，随机选取了120块试验田，并将它们平均分为四组，每组使用一种肥料，对这120块试验田的作物产量进行了方差分析，得到下表。请补齐下表中的A、B、C、D、E、H值，计算结果保留2位小数。

   ![[image-d63b811b.png]]

   ![[image-e801f84c.png]]
2. ![[image-b977d5ce.png]]

### 第五题 简单线性回归 （第十一章）

1. 在其他条件不变的情况下，某种饮料的销量(y)与该饮料的价格(x有关。现对给定时期内的价格与销量进行观察，得到如下表所示的一组数据。试求销量对价格的回归直线，并预测该饮料价格为8元时的销量（注:
   \(∑x^2\)=720，\(∑xy\)=420）

   ![[image-46e198be.png]]

   ![[image-28150115.png]]
2. ![[image-bad73b0b.png]]