---
title: "01-概率论"
created: 2026-01-13
tags:
  - 博客

---
# 概率论

## 第一章 随机事件及其概率

### 第一节 随机事件

![[image-ddc0dded.webp]]

![[image-ca402e3e.webp]]

![[image-81cf2ed4.webp]]

注意：

A∪B（A+B）：事件A与B中至少有一个发生

A∩B（AB）：事件A与B 同时发生

A-B：事件A发生而事件B不发生

![[image-f3250d88.webp]]

![[image-525207d1.webp]]

A-B即为A减去A与B的公共部分

![[image-9fe33151.webp]]

AB不同时发生，AB没有公共部分

A=B（逆）即A是B的对立事件

所以A-B=AB（逆）即A交B以外的部分

![[image-5e833e6d.webp]]

![[image-bc376602.webp]]

![[image-c1ff1b48.webp]]

![[image-a2b4ba69.webp]]

![[image-20c3324c.webp]]

![[image-62710745.webp]]

### 第二节 事件的概率

#### 一、古典概型

##### 1.定义

![[image-f10151d3.webp]]

![[image-57886f5c.webp]]

![[image-611ff4c1.webp]]

![[image-05602e21.webp]]

##### 2.古典概率的性质

![[image-65fa8c30.webp]]

#### 二、几何概型

![[image-1fc380a1.webp]]

![[image-0861d359.webp]]

![[image-ac28fef0.webp]]

#### 三、 频率与概率

![[image-2294cc57.webp]]

#### 四、公理化

注意：概率为0未必是不可能事件，但不可能事件的概率一定为0

![[image-6098360f.webp]]

注意：加法公式非常重要

性质5的推论1：AB互不相容，即P（AB）=∅

∴ P（A+B）=P（A）+P（B）

（有限可加性性质也可得出）

![[image-d7568585.webp]]

推论2：由图可知，ABC的交集部分被重复加了两次，需要减去，但中间部分被加了三次又被减了三次，需要加回来

![[image-dfeebb44.webp]]

![[image-15227c8c.webp]]

![[image-3296b187.webp]]

![[image-82cb666d.webp]]

### 第三节 条件概率

#### 一、定义

前提位于竖线之后

![[image-1fab3cec.webp]]

![[image-b676219e.webp]]

#### 二、乘法公式

![[image-8e3077e3.webp]]

![[image-c67b7b9d.webp]]

![[image-ef0dca5d.webp]]

![[image-1e529a09.webp]]

### 第四节 全概率公式与贝叶斯公式

#### 一 、全概率公式

![[image-adf274a1.webp]]

![[image-7c614e3a.webp]]

全概率与贝叶斯的区别:

全概率：知道原因求结果

贝叶斯：知道结果求原因

#### 二、贝叶斯公式

![[image-9e59a647.webp]]

![[image-4f72463e.webp]]

### 第五节 独立性

#### 一、事件的独立性

![[image-a6f9ae6a.webp]]

![[image-0f6d7a38.webp]]

![[image-4970630e.webp]]

![[image-134b418f.webp]]

![[image-6f052f48.webp]]

#### 二、伯努利模型

![[image-47e642c8.webp]]

![[image-bf402382.webp]]

## 第二章 随机变量及其分布

### 第一节概念

![[image-4784c454.webp]]

### 第二节 随机变量的分布

#### 一、离散型随机变量及其概率分布

X：具体变量

x：具体取值

![[image-f5e2b47e.webp]]

![[image-15d3ec84.webp]]

![[image-da05fb10.webp]]

#### 二、离散型随机变量及其概率密度函数

![[image-7d25e4fe.webp]]

![[image-c7fb825b.webp]]

![[image-0925cc31.webp]]

![[image-5247778c.webp]]

![[image-03da8a65.webp]]

![[image-3f8901ba.webp]]

#### 三、随机变量的分布函数

![[image-9890b02e.webp]]

![[image-b36bc7ba.webp]]

例：

![[image-88f465a1.webp]]

做题方法：

适用条件：x按顺序排列（从小到大）

x写在一条线上

左边都是≥

右边都是＜

第一个函数值为0，最后一个函数值为1

设F（x）=n

F（X1）=0

F（X2）=n1

F（X3）=n1+n2

F（X4）=n1+n2+n3

...

F（Xn）=1

函数图像：右边是个圈

![[image-8640e4bd.webp]]

注意：F（Xk-0）是一种趋势，指由左方向X逼近，即比Xk小的数

![[image-a8e10f2a.webp]]

![[image-5fb2b340.webp]]

连续端点无所谓

![[image-70c5397a.webp]]

### 第三节 常见随机变量的分布

#### 一、常见离散型随机变量的分布

##### （一）0-1分布

![[image-4839f404.webp]]

##### （二）几何分布

![[image-2178f1e9.webp]]

##### （三）二项分布

0-1分布是二项分布的特例

可用泊松分布近似

![[image-a8bedbf3.webp]]

![[image-ef631ce2.webp]]

##### （四）泊松分布

λ=np

![[image-46c2d912.webp]]

![[image-4ffdb327.webp]]

![[image-0d148ab7.webp]]

![[image-5418766c.webp]]

##### （五）超几何分布

![[image-72a23718.webp]]

![[image-ec442f5a.webp]]

![[image-785cce79.webp]]

![[image-d9df1c03.webp]]

![[image-1a7e396b.webp]]

#### 二、常见连续随机变量的分布

##### （一）均匀分布

![[image-80a491c2.webp]]

![[image-d9581f70.webp]]

![[image-abb32037.webp]]

##### （二）指数分布

![[image-44a6a47e.webp]]

![[image-a85e96f3.webp]]

![[image-6d83cd9e.webp]]

![[image-cfc0b38c.webp]]

![[image-2a64b3cf.webp]]

![[image-b84cdb1a.webp]]

![[image-bd8ab1a3.webp]]

![[image-412fd0a8.webp]]

![[image-b48f41d5.webp]]

![[image-708339bb.webp]]

![[image-96352fae.webp]]

![[image-8bd49464.webp]]

### 第四节 随机变量函数的分布

#### 一、离散型随机变量函数的分布

注意：有相同的就合起来

![[image-a226d2f9.webp]]

#### 二、连续型随机函数的分布

![[image-74068cad.webp]]

![[image-cd3afd02.webp]]

注意：两边求导

[Fy（x）]'=[Fx（x）]'

即fy（x）=fx（x）（这是上式两端的密度函数）

![[image-1eca677a.webp]]

![[image-6ccb39d1.webp]]

![[image-05eb8b8f.webp]]

![[image-7946ecdb.webp]]

## 第三章 多维随机变量及其分布

### 第一节 二维随机变量

#### 一、二维随机变量及其分布函数

![[image-52180e36.webp]]

![[image-13ea6d53.webp]]

![[image-11bb9f7e.webp]]

![[image-11527b09.webp]]

#### 二、二维离散型的联合概率分布及边缘分布

##### （一）联合分布

1.若X,Y是递增型的，其概率通常取左上方值

2.若X,Y是递减型的，其概率通常取右下方值、

![[image-35aca220.webp]]

##### （二）边缘分布

1.X的边缘分布：行求和

2.Y的边缘分布：列求和

![[image-5642800a.webp]]

#### 三、二维连续型的联合密度及边缘密度

##### （一）联合密度函数

![[image-18b7fd10.webp]]

![[image-0bc5a14d.webp]]

![[image-53c17a09.webp]]

![[image-58cafe12.webp]]

##### （二）边缘密度函数

x的边缘密度是对y求积分，y的边缘密度是对x求积分

![[image-ac64d054.webp]]

![[image-25f708aa.webp]]

![[image-456a0b58.webp]]

1.二维正态分布的边缘分布也是正态分布

2.两个边缘分布是正太分布，它的二维随机变量并非是二维正太分布

### 第二节 条件分布与随件变量的的独立性

#### 一、条件分布的概念

![[image-9688656d.webp]]

#### 二、离散型的条件分布

![[image-3afa1254.webp]]

#### 三、连续型的条件分布

![[image-8ee23eef.webp]]

证明：

![[image-ce000ff9.webp]]

![[image-a0ad93b3.webp]]

![[image-27d77801.webp]]

![[image-a8f463b7.webp]]

### 第三节 二维随机变量函数的分布

#### 一、二维离散型随机变量函数的分布

![[image-f0c29e31.webp]]

![[image-f9dd9e3c.webp]]

## 第四章 数学期望

### 4.1.1离散型的期望

![[image-f8321f4b.webp]]

![[image-50abd83e.webp]]

### 4.1.2连续型的期望

![[image-d5581c69.webp]]

![[image-35538a6b.webp]]

### 4.1.3随机变量函数的期望

![[image-0950f084.webp]]

![[image-8e851cb4.webp]]

![[image-c4841131.webp]]

![[image-07c6cf4f.webp]]

![[image-aabcd055.webp]]

![[image-0c7d1742.webp]]

![[image-859bf709.webp]]

### 4.1.4数学期望的性质

性质5：任何时候都成立

![[image-54b8ea9a.webp]]

![[image-d6d0cafc.webp]]

### 4.1.5条件期望

![[image-d1ae249b.webp]]

### 4.2.1 方差

![[image-0b9468fc.webp]]

![[image-9f53bdf1.webp]]

### 4.2.2方差的性质

![[image-8d41d4d3.webp]]

![[image-1e035834.webp]]

![[image-034d709d.webp]]

### 4.3.1常见离散型的期望与方差

![[image-05df0022.webp]]

![[image-ae44b09d.webp]]

![[image-ae44b09d.webp]]

### 4.3.2 常见连续型的期望与方差

![[image-9d855623.webp]]

![[image-0a5ecf49.webp]]

### 4.4.1协方差

![[image-9af3e99a.webp]]

![[image-eb2ea82d.webp]]

注意：课本省略了以下步骤，该式子等于0

![[image-4bc5c4c0.webp]]

![[image-7bc08013.webp]]

![[image-7bc08013.webp]]

结论：

![[image-cd106c91.webp]]

### 4.4.2 相关系数

![[image-55f3ac1e.webp]]

![[image-5aad61b0.webp]]

![[image-8d8f7e96.webp]]

![[image-a6146e23.webp]]

![[image-074eae02.webp]]

高于四阶的矩极少使用

![[image-822c93ce.webp]]

补充：协方差矩阵

![[image-a6ac01a1.webp]]

## 第五章 大数定律与中心极限定理

### 第一节

#### 一、切比雪夫不等式

![[image-300d7802.webp]]

![[image-0db13cda.webp]]

![[image-e5179f7a.webp]]

#### 二、切比雪夫大数定律

![[image-96d84ba7.webp]]

![[image-70f813e4.webp]]

![[image-71f58dc2.webp]]

![[image-5299c203.webp]]

![[image-03690126.webp]]

![[image-68de63e8.webp]]

### 第二节 中心极限定理

![[image-781ef54f.webp]]

![[image-754a0a37.webp]]

注意：泊松分布适用于np差值小，正太分布适用于np差值大

## 第六章 数理统计的基本概念

### 第一节 总体与样本

![[image-d46328c0.webp]]

![[image-4585bd2c.webp]]

### 第二节 统计量

#### 一、统计量的定义

![[image-b28d253f.webp]]

![[image-c6db52ce.webp]]

![[image-03113c20.webp]]

![[image-927d3391.webp]]

![[image-b6d469f3.webp]]

![[image-79429cb3.webp]]

![[image-d851f60f.webp]]

### 第三节 抽样分布

![[image-7ff97c30.webp]]

![[image-e8b679ae.webp]]

![[image-995cb856.webp]]

![[image-6d92ddb7.webp]]

![[image-ad873734.webp]]

### 第二节 正太总体下的抽样分布

![[image-fc9891a6.webp]]

## 第七章 参数估计

### 第一节 点估计

一、矩估计法

![[image-889f0e35.webp]]

![[image-c06d9862.webp]]

![[image-3f3d7495.webp]]

#### 二、极大似然估计法

![[image-3f3d7495.webp]]

![[image-1989e4fe.webp]]

### 第二节 点估计的优良性准则

![[image-05770519.webp]]

![[image-3d8516e4.webp]]

![[image-3f3d7495.webp]]

### 第三节 参数的区间估计

一、区间估计恶基本概念

（一）置信区间

![[image-b9bc7369.webp]]

（二）枢轴变量

![[image-3ed22a26.webp]]

![[image-dee839b0.webp]]

![[image-45e77332.webp]]

![[image-d78ff485.webp]]

#### 二、一个正态总体均值和方差的区间估计

（一）单个正态总体的区间估计

![[image-fb4af610.webp]]

（二）双正态总体的区间估计

![[image-11728b86.webp]]

![[image-f07bd9a1.webp]]

![[image-1636d8b7.webp]]

（三）0-1分布参数的区间估计

![[image-1960b67d.webp]]

（四）单侧置信区间

## 第八章 假设检验

### 第一节 基本概念

一、假设检验：检验假设是否成立

原（零）假设（H0）：不得轻易推翻

备择假设（H1）：原假设的对立面

![[image-bab9d450.webp]]

二、基本思想与步骤

![[image-a010a968.webp]]

![[image-4a3ee152.webp]]

![[image-edef7944.webp]]

三、两类错误

![[image-30d41977.webp]]

![[image-deeb8651.webp]]

### 第二节 一个正态总体的参数假设检验

![[image-8db4a0a2.webp]]

![[image-bf382a9e.webp]]