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title: "02-线性代数"
created: 2026-01-13
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  - 博客

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# 线性代数

## 行列式

行列式的初等变换，3条规则：

        倍加性质：把某一行（列）的k倍加到另一行

        提公因子到外面

        交换两行（列） 添负号

### 核心：

灵活应用以上三种规则 想办法将行列式变成上三角或者下三角的形式 方便求值（对角线的乘积）

### 常规形式：

3阶

![[image-a9c2f220.png]]

4阶也是同理 首先把第一个数变成1

![[image-155c6c8d.png]]

### 特征情况：

#### **各行元素之和相等的情况**

        为了让第一个元素变成1 可以将所有列累加到第一列 再进行提取公因子

![[image-f6557bbd.png]]

（有未知数的时候不能提 会丢解）

#### **第一行全1 其他呈等比性质     （范德蒙行列式）**

       其结果为 **公比元素 作差再相乘** （过程忽略 直接记结论）

![[image-9df59388.png]]

4阶也是同理

![[image-f99e599f.png]]

需要变化的情况（第一行不是1 但具有等比性质 想办法变换成范德蒙行列式形式）

![[image-93f6ac96.png]]

#### **爪型行列式**

**提公因子 先将对角线全变成1 再通过倍加性质 变成上/下三角的形式**

![[image-9f3757ca.png]]

![[image-759c6346.png]]

#### **对于某行/列 0很多的情况**

使用余子式 元素乘上相应的代数余子式再求和 （0很多的话 项就很少）

![[image-5276907a.png]]

![[image-0fd2f2ae.png]]

![[image-4fbe00e0.png]]

![[image-47d4c959.png]]

求代数余子式的加加减减 只需要把对应位置替换掉 算行列式的结果即可

求余子式的加加减减 只需要把余子式换成代数余子式 再进行替换 同样操作

![[image-1cf958c5.png]]

结论：

代数余子式 任意一行的元素乘上本行对应的代数余子式 的结果之和 为行列式的值

乘上其他任意非自身行的代数余子式的结果之和 为 0

P101 填空第五题

#### 行列式的计算还可以使用拆和的方法

原理如下：

![[image-89c001c9.png]]

![[image-b44c1ad7.png]]

那么就可以写出这题

![[image-9f90be79.png]]

#### 4\*4行列式 中 看成4个2\*2行列式 若满足上下三角 也适用对角线性质

![[image-0ac7f02b.png]]

![[image-026788a5.png]]

![[image-bdc7857e.png]]

### 练习题：

![[image-3b77a941.png]]

从第一项开始找 前面比自己大的数量 相加 看是奇偶

![[image-84b0b76e.png]]

对角线法则可以计算任意阶行列式 错 （只适用2阶）

行列式的某行元素分别与另一行对应元素相减，行列式值不变  对 （行列式初等变化公式1）

![[image-9b54330e.png]]

![[image-68dfbb91.png]]
![[image-ecd682b8.png]]

其实转换过来就是 说 要让主对角线全不为0 最多可以让多少个元素为0 答案显然是\(n^2-n\)

![[image-6e0143e0.png]]

算行列式的值

![[image-4b2572ab.png]]

（a\*a\*1)+(-1\*a\*4)+(3\*0\*0)-(4\*a\*0)-(3\*-1\*1)-(0\*a\*a)≠0

                 a^2-4a-4≠0

                 a≠1 且 a≠3

![[image-15cb9b4c.png]]

懒得想就直接暴力算

代数余子式

![[image-349330bb.png]]

代数余子式 任意一行的元素 乘以自身对应的代数余子式 的和 为 行列式的值

       乘以其他行对应的代数余子式 的和 为0

![[image-0b0f3c20.png]]

本质也是代数余子式

![[image-45cec164.png]]

![[image-c43e8265.png]]

范德蒙公式

![[image-e3ff43fa.png]]

![[image-66a41133.png]]

如果题目是1 a a^2 a^3 只要写前面部分   如果是1 a a^2 a^4 还得加上后面这个

拆和的方法

![[image-292bbf92.png]]

![[image-371b8f01.png]]

## 矩阵

### 矩阵乘法

取矩阵1的行数 矩阵2的列数 组成新矩阵 （要求矩阵1的列数要与矩阵2的行数相同才合法）

c11 就是矩阵1的第1行 和 矩阵2的第1列 (对应元素相乘再相加）

c22 矩阵1的第2行 和 矩阵2的第2列 (对应元素相乘再相加）

以此类推……

一句话来说就是： 相乘合法性：内标相等 相乘结果：前行后列

![[image-8fca02a6.png]]

![[image-fdec3d2f.png]]
![[image-3e56ca78.png]]

![[image-794caeb2.png]]

### 逆矩阵

方阵 行列数相同的矩阵

E: 单位矩阵  比如：

10

01

100

010

001

#### 抽象矩阵求逆

定义：

![[image-e70fa7ac.png]]

![[image-a84dd34e.png]]

![[image-727cbddc.png]]

![[image-37a35da7.png]]

#### 数字矩阵求逆

##### 普通方法

![[image-2675152f.png]]

当A部分变成E 相应的E部分就会变成A的逆 所以想办法通过多次行变化变成

![[image-ec13058a.png]]

##### 秒杀二阶

二阶矩阵的逆 有个秒杀方法 两调一除：主对调 副对调变号 再除以|A|

![[image-a3de8dc7.png]]

#### 一些结论：

初等矩阵 都可逆

\((AB)^{-1}=B^{-1}\*A^{-1}\)  (不可交换顺序）

### 求解矩阵方程：

注意 因为不满足分配率 所以 x的位置与答案有很大关系

![[image-ecd19381.png]]

例题1：

![[image-b9e571ff.png]]

例题2：

![[image-b8540e34.png]]

![[image-a3e9c369.png]]

#### 伴随矩阵：

![[image-d6d4fef3.png]]

![[image-f6ef8faa.png]]

### 方阵的行列式：

![[image-e2b1c922.png]]

![[image-992f93e2.png]]

![[image-63952567.png]]

![[image-753d873b.png]]

![[image-cc62c24c.png]]

![[image-382acb1a.png]]

### 矩阵的秩

概念：

行阶梯型矩阵： 所谓阶梯型其实就是阶梯下面的元素全为0

![[image-c4ed6fd5.png]]

秩：行阶梯型矩阵中非0行的行数

![[image-42c407c5.png]]
![[image-17803ea3.png]]

![[image-5c2b61a6.png]]

### 练习题：

注意 不满足交换律

![[image-e608d3bf.png]]

![[image-8fe66f60.png]]

![[image-cbe1869c.png]]

若矩阵A可逆 则A的伴随矩阵A\*一定可逆    对

设n阶矩阵A，B满足|A|=|B|，则A=B   错    行列式的值相等 矩阵不一定相等（如上三角 角不一样）

矩阵乘法

![[image-4a493b30.png]]

同样满足矩阵乘法

相乘合法性：内标相等 相乘结果：前行后列

![[image-fe0fbcd3.png]]

![[image-37647442.png]]
![[image-e863e90b.png]]

问可逆是否存在 就是问行列式的值是否为0 为0就是不存在 不为0存在

求逆矩阵就是 A|E 把A变成E E跟着变 得到 E|\(A^{-1}\)

![[image-0f799aba.png]]
![[image-eebc43ec.png]]

不会 记答案 复杂的那个c

![[image-4edaebe3.png]]

二次型化成行列式 把系数分配给对应位置

![[image-5fe9214a.png]]
![[image-badd1e89.png]]

![[3caaedeb39c28898355cee89cca85d01-3caaedeb.png]]

## 向量组的线性相关性

### 数字型

线性相关： 分量对应成比例 几何上就是平行 在线代里就是线性相关

![[image-5b2ef499.png]]

转变成行列式的话  主对角线减去副对角线正好等于0 （行列式等于0 就是线性相关 前提是方阵）

![[image-369aa226.png]]

拓展到多维

也是一样 对于方阵来说 可以变成行列式 那么就看行列式的值是否为0 如果为0 则线性相关 反正线性无关

如果不是方阵的话 就不能用上诉行列式的方法来算 这时就要使用 秩 的方法

如果秩小于列数 一定线性相关 反正 等于列数 线性无关 当然根据秩的定义 不可能有大于的情况

![[image-7c6a4ced.png]]

所以 有三种方法看线性相关否了

二维直接看是否对应成比例   方阵看行列式值是否为0 非方阵看秩是否小于行数（当然方阵也可以用这个）

例题1：

![[image-05a95385.png]]

![[image-ef86c64c.png]]

例题2：

![[image-2cb8b4c7.png]]

![[image-80ecebe2.png]]

![[image-514c1d78.png]]

例题3：

![[image-da9aaedb.png]]

### 抽象型

不告诉向量组具体是什么

若给定一个简单抽象向量组 和 一个简单的矩阵 可以很容易利用矩阵乘法算出答案 得到一个复杂的向量组

![[image-baa6cf49.png]]

这时 使用逆向思维 若给定一个复杂抽象向量组 想办法拆成简单向量组和简单矩阵的乘法形式

![[PixPin_2024-06-18_23-46-29-e64c453e.gif]]

若能成功将一个复杂向量组分解成简单向量组乘行列式的形式

且简单向量组是线性无关的话 要推断复杂向量组的线性相关性就取决于 这个简单行列式

若行列式等于0 则复杂向量组线性相关

如果不等于0 则复杂向量组线性无关

![[image-68084532.png]]
![[image-64ce2ccb.png]]

### 向量组的秩和极大无关组

秩和之前的求法一致

极大无关组： 取阶梯型中拐弯处所在的列向量 （不唯一）

![[image-729a3824.png]]

### 练习题：

![[image-17dfb59d.png]]

无关组\*不可逆矩阵=相关组 反正 如果相关 就一定可以用其他向量组表示

![[image-64318062.png]]

![[a5888d68cd7fa8c24a86764fcf61c47f-5a246a62.png]]
![[image-4fa97f04.png]]

B可以用a1 a2 线性表示 所以B=k1a1 + k2a2 又因为这两个第三元素都为0 组合后一定也是0 所以不可能是bcd 故选a

![[image-0abde99f.png]]

线性相关 能用其他表示 a b o线性相关 所以他们能相互表示

记忆的话 就是 表示的时候 得相关的都用上 然后少了一个可以用系数0表示

但如果没全用上的话 就不可以表示成功了 另外 定义是 不全为0的表示

定义题

![[image-11d61a4b.png]]
![[image-fe49011f.png]]

![[image-d7c261c6.png]]

极大无关组

先求秩 再看转角

![[image-990aa3f6.png]]

很麻烦算起来 直接记答案 124

![[image-6b459a37.png]]

若对一组不全为0的数k1，k2……kn 都有k1a1+k2a2+……+knan=0 时 则向量组a1，a2……an线性相关

逆否命题就是这个选项 记的话 记选项中 线性无关就行

大题

![[image-4b9c8913.png]]

![[image-023771c7.png]]
![[image-e5fe5ffc.png]]

![[image-dda67347.png]]
![[image-1a9dc96a.png]]

![[image-11f49e4f.png]]

## 线性方程组

### 齐次方程组

齐次：等号右边为0

### 练习题：

![[image-4b45a1ce.png]]

![[image-1017f60c.png]]

而这题并没有给这个条件 所以是错

记答案

![[image-5e5b104d.png]]

![[image-e7b1258c.png]]

## 特征值和特征向量

|A-入E|=0 求特征值

（A-入E）\* x = 0 求特征向量

![[image-dbd7b920.png]]

![[image-1d0b621d.png]]

![[image-7b512bce.png]]

![[image-fe0674d0.png]]
![[image-2d64a496.png]]

这题很麻烦 直接记答案 对

![[image-9c2fce57.png]]

原相关 -1 相关

原无关 +1 无关

![[image-4a5ef64c.png]]

所有特征值的和 等于 矩阵主对角线上的值相加

所有特征值的乘积 等于 行列式的值

![[image-67c818de.png]]

![[image-3082c14b.png]]
![[image-61ae6575.png]]

记答案   入2≠0

![[image-bb34556b.png]]

直接十字相乘 得到的解就是答案

大题

![[image-4074eb83.png]]

![[image-98926fc5.png]]

## 二次型

![[image-fdd505dc.png]]
![[image-b3717b35.png]]

矩阵合同具有的性质： 自反、对称、传递

相似 也具有以上性质

![[image-4edaebe3.png]]

二次型化成行列式 把系数分配给对应位置

![[image-5fe9214a.png]]

![[image-dbd7b920.png]]

![[image-1d0b621d.png]]