第 1~10 题：进制和编码

📚 本文是 信息基础大赛（10.29 备赛）的第 1 篇，题目以截图为主、文字为点拨。 💡 要系统学透对应知识，配合：信息的表示与处理

战术定位：1~10 题就是进制转换和编码，这 10 分是稳拿的——下面两部分（离散、专利）搞定后，这类问题 90% 也就解决了。速度把控在 5 分钟以内：整数部分直接调计算器，小数算两位就能出答案。

进制转换问题（含小数）

一个字节由 8 位组成，二进制值域 0000 0000 ~ 1111 1111——写起来太冗长，用十进制转换又麻烦。于是用十六进制（hex，0x 开头）当中间层：把二进制数 4 位 4 位地拆分，用数字 0~9 和字符 A~F 表示 16 个可能的值。

16 个数码的二进制对照（全部换算的地基，必须秒答）：

十六 二进制 十六 二进制
0 0000 8 1000
1 0001 9 1001
2 0010 A 1010
3 0011 B 1011
4 0100 C 1100
5 0101 D 1101
6 0110 E 1110
7 0111 F 1111
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💡 记忆技巧：死记 A=1010、C=1100、F=1111、4=0100、8=1000，剩下的 B、D、E 用相邻关系推（A+1=B，C+1=D，D+1=E）。

十六 ↔ 二

很少单独考这种题，一般都是与十进制混着转换；2、8、16 之间的互转主要看记忆和推算。

十六 → 二：每位展开成 4 位二进制。

例：0x173A4C

1 7 3 A 4 C
0001 0111 0011 1010 0100 1100

二 → 十六：整数部分从右往左 4 位一组，最左不足补 0。

例：11 1100 1010 1101 1011 0011 → 补齐 0011 1100 1010 1101 1011 0011 → 0x3CADB3

再练两组：

  • 0x39A7F8 → 0011 1001 1010 0111 1111 1000
  • 10 0110 1110 0111 1011 0101 → 补齐 0010 0110 1110 0111 1011 0101 → 0x26E7B5

带小数：小数点后的部分从左往右 4 位一组，右边补 0（方向和整数部分正好相反）。

例：101.01011₂ → 整数 101→0101→5；小数 01011→0101 1000→5、8 → 5.58₁₆

十六 ↔ 十

（有种特殊速算方式，但多此一举，已删减——在《信息的表示与处理》里。）一般来说反复乘除法就够了。

十进制 → 十六进制：除 16 取余

x ÷ 16 = 商 q …… 余数 r，即 x = q×16 + r。r 作最低位，q 继续循环，直到商为 0；余数逆序排列。也叫"除 16 取余法"。

例：314156(D) = 4CB2C(H)

除法 商 余数 已得结果
314156 ÷ 16 19634 12 → C C
19634 ÷ 16 1227 2 2C
1227 ÷ 16 76 11 → B B2C
76 ÷ 16 4 12 → C CB2C
4 ÷ 16 0 4 4CB2C
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💡 这其实就是用一个栈接收每轮余数、再出栈——逆序输出。408 那篇笔记里用程序实现过这一过程。

带小数：拆成整数、小数两部分分别转。

例：58.75 转十六进制

  • 整数 58，除 16 取余：58÷16=3……10(A)，3÷16=0……3 → 3A
  • 小数 0.75，乘 16 取整：0.75×16=12.00 → C；0.00×16=0.00 → 0 → .C0

能观察到两个不同点：

  1. 这回取下的是整数部分，小数部分留下进入下一轮乘法；
  2. 取出的整数顺序放在小数点后面（不逆序）。

十六进制 → 十进制

用 16 的幂乘以每个十六进制数字再求和。

例：7AF(H) = 1967(D)——从右往左 F 是第 0 位、A 第 1 位、7 第 2 位：

7×16² + 10×16¹ + 15×16⁰ = 1792 + 160 + 15 = 1967

⚠️ 计算量大，一般见不到这种题——题目基本都是十进制换其他。

十 ↔ 二、八

也是反复乘除法。

二进制 → 十进制

按权展开。例：100101.11

位 1 0 0 1 0 1 . 1 1
权 2⁵ 2⁴ 2³ 2² 2¹ 2⁰ 2⁻¹ 2⁻²

1×2⁵ + 1×2³ + 1×2⁰ + 1×2⁻¹ + 1×2⁻² = 32 + 8 + 1 + 0.5 + 0.25 = 41.75

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十进制 → 二进制

直接上带小数的例子：123.45，拆成 123 和 0.45。

整数部分，除 2 取余（余数逆序）：

除法 余数 已得结果
123 ÷ 2 1 1
61 ÷ 2 1 11
30 ÷ 2 0 011
15 ÷ 2 1 1011
7 ÷ 2 1 11011
3 ÷ 2 1 111011
1 ÷ 2 1 1111011

小数部分，乘 2 取整（顺序往后接）：

乘法 取整 已得结果
0.45 × 2 = 0.9 0 1111011.0
0.9 × 2 = 1.8 1 1111011.01
0.8 × 2 = 1.6 1 1111011.011
0.6 × 2 = 1.2 1 1111011.0111
0.2 × 2 = 0.4 0 1111011.01110
0.4 × 2 = 0.8 0 1111011.011100

还可以继续往下乘——反正就是取整数部分往后接、小数部分进下一轮（0.45 是无限循环小数，算到题目精度即可）。

🎯 考场节奏：一般算完整数部分就能排除两个答案；再算小数，算到 4、5 位结果肯定出来了。

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比如这道题：以下二进制的值与十进制 23.456 最接近的是？

选项：10111.0101 ／ 11011.1111 ／ 11011.0111 ／ 10111.0111

  • 整数 23：23÷2=11……1，11÷2=5……1，5÷2=2……1，2÷2=1……0，1÷2=0……1 → 10111（排除 11011 开头的两个）
  • 小数 0.456：0.456×2=0.912→0，0.912×2=1.824→1，0.824×2=1.648→1，0.648×2=1.296→1 → .0111

答案：10111.0111

推广：十进制换任意进制

  • 整数部分：除基数取余，余数逆序（换二除 2、换八除 8、换十六除 16）
  • 小数部分：乘基数取整，整数顺序接在小数点后

例：1770.625 换八进制

整数：除 8 取余 已得 小数：乘 8 取整 已得
1770 ÷ 8 = 221 …… 2 2 0.625 × 8 = 5.0 3352.5
221 ÷ 8 = 27 …… 5 52 0.0 × 8 = 0.0 3352.50
27 ÷ 8 = 3 …… 3 352
3 ÷ 8 = 0 …… 3 3352

→ 3352.5₍₈₎

八进制与其他

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二 ↔ 八

八进制其实就是把二进制 3 位 3 位地取，和十六进制 4 位一组一个道理。

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例：二进制 11 1100 0010 换八进制——3 位一组、左边补零：

001 111 000 010 → 1702₍₈₎

八换二反过来：每位八进制展开成 3 位二进制（要记的东西和十六那套同理）。

八 ↔ 十六

十六换八：以二进制为桥。

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例：F2C4B 换八进制

  1. 先展开成二进制：1111 0010 1100 0100 1011
  2. 从右往左 3 位一组、左边补零：011 110 010 110 001 001 011
  3. → 3626113₍₈₎

八换十六：同样走二进制桥，换成 4 位一组划分。

八 → 十

按权展开：3725₍₈₎ = 3×8³ + 7×8² + 2×8¹ + 5×8⁰ = 1536 + 448 + 16 + 5 = 2005

将算式转换成进制

还有一种把运算和进制转换结合起来的问题，比如：

11/128 用二进制数码序列表示为？

按老思路先算出十进制结果、再分整数小数两部分转换，很浪费时间。直接循环乘 2 除下去（分数形式）：

步骤 结果 已得二进制
11/128 ×2 = 22/128 整数部分 0 0
22/128 ×2 = 44/128 0 00
44/128 ×2 = 88/128 0 000
88/128 ×2 = 176/128 1，留 48/128 0001
48/128 ×2 = 96/128 0 00010
96/128 ×2 = 192/128 1，留 64/128 000101
64/128 ×2 = 128/128 1，留 0，结束 0001011

→ 0.0001011₂

💡 本质就是"乘 2 取整法"的分数形式：分子翻倍、分母不变，够 128 就吐出一个 1 并把 128 减掉。

编码问题

ASCII 码

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  • 标准 ASCII 用 7 位二进制表示一个字符，范围 0（0000000）~ 127（1111111）
  • 但计算机中数据通常以 **8 位（1 字节）**存储：实际是 0 0000000 ~ 0 1111111，最高位恒为 0，每个字符占一个字节的存储量
  • 大写字母的 ASCII 值比对应小写字母小 32（A=65，a=97）
  • 空格的 ASCII 值为 32，字符 0 为 48
  • 并非所有 ASCII 码都能显示成字符，前面的控制字符无法显示

💡 tips：按住 Alt 输入数字（十进制 ASCII 码），会显示对应字符。

  • 一个汉字 : 一个英文字符 = 2 : 1（微型机中汉字占 2 字节、英文占 1 字节）

例：一个 1.44MB 的文本文件，大约可存储多少中文字？ 1.44×10⁶ B ÷ 2 B/字 = 72 万字（题目口径按 10⁶ 算；若按 1024 进位则约 75 万，考试认 72 万）

音码、形码、区位码

  • 音码（拼音输入法）：按汉字发音编码，输拼音字母/音节，从候选列表选字。如输 "zhongguo" 选"中国"。
  • 形码：按汉字笔画构造和形状编码，按笔画顺序和部首输入。如五笔字型。
  • 音形码（形声码）：字形 + 音韵结合编码，每个字的编码含部首和声母特征。
  • 区位码：按汉字在字符集中的位置编码，每个汉字一个唯一的四位十进制码。

汉字编码体系

  • 汉字编码：UTF-8、UTF-16、GB2312、GBK 等，不同编码的字节长度可以不同
  • 输入码：输入法生成、用于识别汉字的码——同一汉字在不同输入法下输入码不同、长度不同
  • 机内码：计算机内部表示汉字的编码——不同输入法输入的同一汉字，机内码相同（保持一致性）
  • Unicode：通用字符编码标准，跨输入法、跨系统保持字符一致，通常用 16 位或 32 位表示，容纳世界各种文字

区位码 → 国标码 → 机内码

换算链（考点）：

区位码（十进制的区、位分别转两位十六进制）→ + 2020H → 国标码 → + 8080H → 机内码

例：汉字"家"的区位码是 2850，则其国标码是（　） A. 4870D　B. 3C52H　C. 9CB2H　D. A8D0H

28 → 1CH，50 → 32H，得 2850 = 1C32H；1C32H + 2020H = 3C52H，选 B。

（so：先分两部分换成十六进制，再加上 2020H。）

GB2312-80 的分级：

  • 一级汉字 3755 个（常用），按汉语拼音排列，占 16~55 区
  • 二级汉字 3008 个（次常用），按偏旁部首排列，占 56~87 区
  • 每区 94 个汉字/符号；1~9 区是符号区（全角字母、希腊/日文/俄文、制表符号等），10~15、88~94 备用
  • 区位码是四位十进制数：前两位区码、后两位位码

显示/打印用哪个码？

显示或打印汉字时，系统使用的是汉字的（　）。 A. 机内码　B. 字形码　C. 输入码　D. 国标码

答案：B 字形码。输出汉字时，先根据机内码找到字模信息在汉字库中的位置，取出点阵字形显示/打印——机内码负责"找"，字形码负责"画"。

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