等差与等比
等差数列等比数列也是经常考到 把常用的公式记一下
等差数列
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公式：\(a_n = a_1 + (n-1)d\)
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前 n 项和：\(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)或者 \(S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\)
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求和公式推导：
\(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d\)
常用技巧：
- 若已知前 n 项和\(S_n\)和公差\(d\)，则可通过 \(S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\)解方程得到\(a_1\)。
- 若已知前 n 项和 \(S_n\)和项数 \(n\)，可通过\(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)解方程得到 \(a_n\)。
等比数列
- 公式：\(a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\)
- 前 n 项和：\(S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}（r \neq 1）\)
- 求和公式推导：
- \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\)
- \(r \cdot S_n = a_2 + a_3 + \dots + a_{n+1}\)
- \(S_n - r \cdot S_n = a_1 - a_{n+1}\)
- \((1 - r) \cdot S_n = a_1(1 - r^n)\)
常用技巧：
- 若已知前 n 项和 \(S_n\)和公比 \(r\)，则可通过\(S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}\)解方程得到 \(a_1\)。
- 若已知前 n 项和 \(S_n\)和项数 \(n\)，可通过\(S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}\)解方程得到 \(r\) 。
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