加分二叉树
题目 加分二叉树
设一个 n 个节点的二叉树 tree 的中序遍历为（1,2,3,…,n），其中数字 1,2,3,…,n 为节点编号。
每个节点都有一个分数（均为正整数），记第 i 个节点的分数为 di，tree 及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树 subtree（也包含 tree 本身）的加分计算方法如下：
subtree的左子树的加分 × subtree的右子树的加分 ＋ subtree的根的分数
若某个子树为空，规定其加分为 1。
叶子的加分就是叶节点本身的分数，不考虑它的空子树。
试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树 tree。
要求输出：
（1）tree的最高加分
（2）tree的前序遍历
输入格式
第 1 行：一个整数 n，为节点个数。
第 2 行：n 个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（0<分数<100）。
输出格式
第 1 行：一个整数，为最高加分（结果不会超过int范围）。
第 2 行：n 个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。如果存在多种方案，则输出字典序最小的方案。
数据范围
n<30
输入样例：
5 5 7 1 2 10
输出样例：
145 3 1 2 4 5
思路分析
其实算是区间dp的裸题
主要就是要分析出题意
给定一个含有 n 个结点的二叉树的 中序遍历 序列中每个节点的 权值
定义一棵 子树 的 分数 为 左子树的分数×右子树的分数+根节点的权值 额外规定 空树 的 分数 为 1 求一种满足该 中序遍历 的建树方案，使得整棵树的 分数 最大
需要知道一个二叉树的小常识：
二叉树节点 向下投影，映射成的数组序列就是 中序遍历序列，如下图所示
问题其实就转换成了枚举每个点k作为根时 的分数最大
状态表示：
f[i][j]:当前以 i 为左端点，j 为右端点的区间作为 中序遍历，生成树的方案 属性: 方案的分数最大 Max
状态计算—
初始状态： f[i,j]=w (i=j) 题目规定只有一个节点的子树分数就是其权值 目标状态： f[1,n]
代码实现
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=31;
int w[N];
int f[N][N];
int g[N][N];//记录每个子集的根 用于输出方案
int n;
void dfs(int l,int r){
if(l>r)
return;
int root=g[l][r];
cout<<root<<" ";
dfs(l,root-1);
dfs(root+1,r);
}
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>w[i];
memset(f,-0x3f,sizeof f);//最大价值 初始化-inf
for(int len=1;len<=n;len++){// 区间长度
for(int i=1;i+len-1<=n;i++){//枚举起点
int j=i+len-1;//算出终点
if(len==1){//最小区间
f[i][j]=w[i];//题意规定价值为自身
g[i][j]=i;//根其实就是i或j本身
continue;
}
for(int k=i;k<=j;k++){//枚举分割点 构造转移方程
//考虑分割点在边缘的情况
//这里 区间划分是 左 中 右 中间是额外的第三块 所以分为i,k-1 k k+1,j
int l=(k==i? 1 : f[i][k-1]);
int r=(k==j? 1 : f[k+1][j]);
int score=l*r+w[k];
if(score>f[i][j]){
f[i][j]=score;
g[i][j]=k;
}
}
}
}
cout<<f[1][n]<<endl;
dfs(1,n);//中根输出一下路径
return 0;
}
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